段一·现身
二〇三四年十一月十八日，库车。
去年这一天两家开了第一格。
今年这一天开第二格。
日子是去年定死的。
依明六十九。
去年这一天他六十八。
这一年他瘦了，可是站得住。
艾力十七。
桌上这一次摆的是四个袋子。
两个是今年的。
两个是去年的。
去年那两个，去年开过一次，当场分了一半互换，各自缝回去。
缝回去的针脚，两家还是不一样。
依明那个密，艾力那个疏。
今年艾力缝得比去年密了一点。
今年这两个是十月封的。
封的日子两家差三天。
依明十月九日，艾力十月十二日。
这三天艾力记在了本子上。
记的时候他加了一句：明年要问问差三天要不要紧。
四个袋子摆成两排。
上排两个是依明的，去年和今年。
依明摆的时候左手压着袋子，右手把它推正。
两个袋子的边对齐了。
下排两个是艾力的，去年和今年。
艾力摆完，站着看了一会儿。
他说了一句：
“今年能比了。”
这一句他说得很轻。
去年这一天他说的是「差得太远了」。
那一天他站在桌边，第二句没有说出来。
第二句他心里想的是：那我们去年封这个干什么。
这一年里他没有跟任何人提过那一句。
今天他自己想起来了。
他后来跟马可说过一句：
“去年我以为那一次白封了。”
他说：
“其实那一次是把第一个点放下去。”
他说：
“一个点看着没有用。”
他说：
“没有那个点，今年这个点也没有用。”
段二·古文镜像
祖颐序：“燕山松庭朱先生以数学名家，周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众。”
莫若序：“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。”
《四元玉鉴》立四元：天元、地元、人元、物元，四元并列，各居一隅。
垛积诸术：茭草垛、三角垛、四角垛、撒星形垛、岚峰形垛、三角落一形垛。
“如像招数”，以差求原，一差、二差、三差、四差，逐层求之。
*English Mirror: Master Zhu of Songting in Yanshan is renowned as a mathematician; he has travelled the lakes and seas for more than twenty years, and those who come from the four quarters to study with him grow more numerous by the day. — Han-qing is his given name; Songting is what he calls himself. He moved about in all directions, and came again to Guangling, and those who came to his door to study gathered like clouds. — The Jade Mirror sets up four elements — heaven, earth, man and thing — set out together, each occupying one corner. — The methods of stacked accumulation: the rush-stack, the triangular stack, the square stack, the scattered-star stack, the mountain-peak stack, the triangle-dropping-one stack. — The method of summoning the differences: from the differences, find the original — the first difference, the second, the third, the fourth, sought layer by layer.
十一月十八日上午，两个人比了一个上午。
比的办法跟去年一样。
去年比了一个多钟头。
今年比了一个上午，因为要比两组。
中间歇了一次。
歇的时候依明去屋里喝水，坐了十分钟。
艾力在院子里等，没有先比。
从两袋里各抓一颗，摆成一排，捏。
每一轮记一个字：软、中、硬。
这一次比的不是依明对艾力。
是依明的今年对依明的去年。
再是艾力的今年对艾力的去年。
一个上午，两组。
中午的时候两个数出来了。
依明那一组：今年比去年硬。
四十四颗里，二十九颗记的是硬。
艾力那一组：今年比去年硬。
四十三颗里，二十六颗记的是硬。
两个数很近。
艾力看着这两个数，站在那儿没有动。
他站了大概半分钟。
然后他做了一件依明没有教过的事。
他把四个袋子重新摆了一遍。
不是两排。
是斜着摆成一个四方。
左上是依明去年，右上是依明今年。
左下是他去年，右下是他今年。
摆完他用手指在桌上比划了两下。
先是横着比划一下，从左到右。
再是竖着比划一下，从上到下。
依明问他在干什么。
艾力说：
“横着是一家的两年。”
他说：
“竖着是同一年的两家。”
依明看着那四个袋子，没有说话。
过了一会儿他说：
“你这么一摆，我看出来一样东西。”
他说：
“我那面墙，只有横的。”
这一句说完，院子里静了一会儿。
艾力问：
“横的不好吗？”
依明说：
“横的是我这一辈子。”
他说：
“四十二格，一格一年，从左往右。”
他说：
“我一直觉得那是一条很长的线。”
他抬起头。
他说：
“今天我知道那是一条线。”
他说：
“只有一条。”
艾力没有接话。
依明说：
“你那面墙才两格。”
他说：
“可是你那两格底下，有我这四十二格。”
他说：
“从今年起，你横着也有，竖着也有。”
他停了一下。
他说了一句，艾力当天晚上原样发给了马可：
“我那四十二格，是一根柱子。”
他说：
“柱子撑不住房。”
他说：
“要两根才撑得住一根梁。”
这一句说完，艾力问了一句。
他说：
“那第三根呢？”
依明说：
“第三根更稳。”
艾力说：
“第三根是谁？”
依明没有答。
过了一会儿他说：
“这个不是我定的。”
他说：
“你去年问我为什么我跟你爷爷说了三十年他不留。”
他说：
“我那时候说：不能怪他。”
他抬起头。
他说：
“今天我再说一遍。”
他说：
“第三根柱子不是劝出来的。”
他说：
“是有一天有人自己想留。”
他停了一下。
他说：
“你那一根，也不是我劝出来的。”
艾力说：
“是马叔带来的。”
依明说：
“不是。”
他说：
“他带来的是那个法子。”
他说：
“你那一根，是你爷爷走了以后你自己立的。”
段三·事件主体
朱世杰是那天中午在院子里出现的。
五十上下。
穿的是很旧的行路衣裳，下摆沾着土。
土是新的，还没有干透。
看得出来他是刚从外头进来的。
背上一个布袋子，鼓的。
袋子的带子磨得发白，换过一次。
鞋是走了很多路的那种鞋。
他手里拿着一把算珠，穿成串的，不是算盘。
珠子是木的，深色，大小不一样。
穿珠的绳子打了好几个结。
他进院子先看了一眼桌上那四袋。
看完他说了第一句：
“你们今年摆的是两排。”
这一天马可在成都，电话开着免提。
马可说：
“先生贵姓。”
那个人说：
“朱世杰。”
他说：
“我自号松庭。”
艾力把那两个数念了一遍。
念完他问了一句。
他问的是：
“依明爷爷，这算不算对上了？”
依明说：
“算。”
艾力说：
“可是我们两家的房还是不一样。”
依明说：
“房不一样。”
他说：
“变的方向一样。”
他说：
“变的多少也差不多。”
他停了一下。
他说：
“这是头一回。”
马可在电话这头问了一句。
他说：
“依明大叔，方向一样说明什么？”
依明没有立刻答。
朱世杰在院子里说了一句。
他说：
“你让那老人自己说。”
电话那头静了一会儿。
然后依明说了。
他说：
“说明今年这一年，有一样东西是我们两家一起碰上的。”
他说：
“不是我手上的事。”
他说：
“也不是那孩子手上的事。”
马可在电话这头站起来了。
他说：
“是天。”
依明说：
“是天。”
朱世杰在院子里把那串算珠摊开。
他说：
“这一句要紧。”
他说：
“那老人一个人量了四十二年。”
他说：
“四十二年里，每一年都有两样东西掺在一起。”
他说：
“一样是那一年的天。”
他说：
“一样是他自己的手。”
马可说：
“这两样他分不开。”
朱世杰说：
“分不开。”
他说：
“一个人量一辈子，这两样永远绞在一起。”
他抬起头。
他说了一句，马可当时把笔拿起来了：
“今天头一次分开了。”
他说：
“两家都硬了，两家硬得差不多。”
他说：
“那这一份硬，就不是谁的手。”
马可在电话这头坐下来。
他说：
“先生，这个法子有名字吗？”
朱世杰说：
“我那本书里叫招差。”
马可问：
“招差是什么？”
朱世杰说：
“你手上有一串数。”
他说：
“一年一个。”
他说：
“你把相邻两个一减，得一串新的。”
他说：
“这叫一差。”
他说：
“再减一遍，二差。”
他说：
“再减，三差。”
他抬起头。
他说：
“减到哪一层不动了，那一层就是这一串数的骨头。”
马可问：
“骨头有什么用？”
朱世杰说：
“知道了骨头，中间缺的那些能补出来。”
他说：
“后头没来的那些，也能推出来。”
马可问了那个他一直想问的。
他说：
“先生，那依明大叔那四十二年，能不能用这个法子？”
朱世杰说：
“不能。”
他说得很干脆。
马可说：
“为什么？”
朱世杰说：
“他那四十二个数，每一个里头都有两样东西。”
他说：
“你减出来的差，还是两样。”
他说：
“减到底也还是两样。”
他抬起头。
他说：
“减法分不开绞在一起的东西。”
他说了一句，马可当天在本子上抄了六遍：
“分开它们的不是算法。”
他说：
“是第二个人。”
马可把这一句抄了六遍，抄完问了一句。
他说：
“先生，那要是有三家呢？”
朱世杰说：
“三家更好。”
马可说：
“好在哪儿？”
朱世杰说：
“两家的时候，你只能知道有一样东西是共的。”
他说：
“共的那一份多大，你算不准。”
他说：
“因为两家一比，你分不清是天走了多少，还是有一家的手也跟着走了。”
他抬起头。
他说：
“三家的时候，有两家会对得更紧一点。”
他说：
“对得松的那一家，是那一家自己的事。”
马可说：
“那四家五家呢？”
朱世杰说：
“越多越准。”
他停了一下。
他说：
“可是你别只顾着添家数。”
他说：
“添的那几家要是彼此在学，就白添。”
他说了一句，马可当天在本子上抄了四遍：
“十家互相学的，顶不上两家不相干的。”
马可听完这一句，把去年的事想了一遍。
去年他加的第六家是古丽。
他当时写的是：她是第一个不在我这一头的。
今天这一句给了他另一层。
那五家在地里，彼此在学。
五家互寄三年，会越来越像。
去年裴先生说过：互相寄五年，剩两家。
古丽在柜台后头，六年没有跟那五家说过一句关于挑货的话。
马可在本子上写了一行：
「五家在地里，一个在柜台后头。」
他停了一下，写完下半句：
「按朱先生这一句，那一个顶得上好几家。」
「可是她那一本不能拿来减。」
「她记的是话，不是数。」
「话不能相减。」
「这一层我还没有办法。」
写完这一行，马可又补了一句。
他写的是：
「没有办法这件事，今年要写下来。」
下面一行：
「写下来，明年后年的我才知道这一条挂了几年。」
再下面一行：
「按今年立的那一栏，这一条也该有一个「什么时候算做完」。」
他想了很久，填的是：
「有人想出怎么把话和数摆在一起的时候。」
填完他在旁边打了一个问号。
因为这一条跟别的都不一样。
别的那些，是等一个人。
这一条是等一个办法。
那天中午最后，朱世杰说了他自己那件事。
他说：
“我这一辈子在路上。”
马可问：
“走了多少年？”
朱世杰说：
“二十多年。”
他说：
“燕山出来，一路往南。”
他说：
“到哪儿住一阵，教一阵。”
马可问：
“为什么要走？”
朱世杰说：
“因为一个地方的人，算法都是一样的。”
他说：
“一个地方待久了，我就只会那一套。”
他说：
“走到别处，人家用的不一样。”
他停了一下。
他说：
“两套一比，我才知道我那一套哪儿是死的。”
他把那串算珠收起来。
他说了一句，马可当天在本子上抄了五遍：
“一个人待在一个地方，最后分不清哪些是算学，哪些是这个地方的习惯。”
这一句说完，朱世杰把背上那个布袋子解下来了。
他打开，里面是一摞书。
不是他自己写的。
是各地抄来的。
他说：
“这些是路上得的。”
他说：
“扬州一本，杭州两本，广陵三本。”
他说：
“有的写得不如我。”
他抬起头。
他说：
“可是每一本里都有一样我没有的。”
马可问：
“您怎么找出那一样？”
朱世杰说：
“找它写错的地方。”
马可停住了。
朱世杰说：
“一本书跟我一样的地方，我读得很快。”
他说：
“跟我不一样的地方，我就停。”
他说：
“停下来先当它是错的。”
他说：
“算一遍，十回有八回真是错的。”
他停了一下。
他说了一句，马可当天在本子上抄了五遍：
“剩下那两回，是我这二十年全部的收成。”
段四·钩子结尾
十一月十八日下午，艾力做了一件事。
他拿了一张纸，画了两条线。
纸是从那个箱子第三层拿的空白卡片。
卡片不大，两条线画得很挤。
一条是依明的，一条是他自己家的。
两条线是平行的，隔了两指宽。
他没有画坐标，也没有写数。
只有点。
两条线上今年各有两个点。
他在两条线中间画了一个箭头，写了两个字：
「今年。」
画完他问了依明一句。
他说：
“那明年呢？”
依明说：
“明年两条线各有三个点。”
艾力说：
“三个点有两条差。”
依明说：
“对。”
艾力说：
“两条差还能再减一次。”
依明抬起头，看了他一会儿。
他说：
“这个你怎么知道的？”
艾力说：
“刚才那位先生说的。”
院子里静了一下。
依明说：
“哪位先生？”
艾力说：
“中午在院子里的那位。”
依明没有再问。
他低头看那张纸。
过了一会儿他说了一句：
“这张纸你收着。”
十一月十九日，马可把这件事写成了一页。
写的是二〇三四年这一年最要紧的一件事。
他写的第一行是：
「今年这一年，两家都硬了。」
第二行：
「两家的房不一样，人不一样，做法不一样。」
第三行：
「硬的方向一样，大小差不多。」
第四行：
「所以这一份硬不是人做出来的。」
第五行：
「这是第一个不属于任何一个人的数。」
写完他往下又写了一段。
他写的是这个数值多少钱。
答案是零。
知道今年天热了一点，他今年一袋也不会多卖。
他把「零」写在旁边。
然后他在「零」旁边又写了一行：
「可是从今年起，每一年的那个数里，能减掉一样东西。」
「减掉以后剩下的，才是那个人。」
「这件事以前做不了。」
「四十二年做不了。」
「两家两年就做了。」
写完这一行，马可把五家今年的情况过了一遍。
能拿出两条差以上的，今年有几家。
常那边：二〇三〇年换手，之后五格，四条差。
可是常今年六十六，他自己说手不一样了。
换手以后这五格里，二〇三三年他挑了两次。
那一年的数要标注。
吐鲁番：阿里木记的，三格，两条差。
热合曼江：四格，三条差。
依明：四十二格，四十一条差，全是一个人的。
艾力：两格，一条差。
古丽：六本本子，不在这一栏。
马可数完，发现一件事。
今年有三家同时有了第二个点：吐鲁番、热合曼江、艾力。
加上依明和常，五条线。
他在本子上写了一行：
「今年是五条线头一次同时有第二个点。」
他停了一下，写完下半句：
「明年可以五家一起对今年那一份天。」
「五家对出来的，比两家对出来的窄。」
「窄多少，明年才知道。」
十一月二十日，马可给依明打了一个电话。
他想说一句谢谢。
电话接通以后他说的不是谢谢。
他问的是一件事。
他问：大叔，您那四十二格，现在还能做什么。
艾力翻译。
电话那头很久没有声音。
然后依明说了一段，艾力一句一句翻过来。
第一句：
「那四十二格分不开了，我知道。」
第二句：
「可是它还有一样用。」
第三句：
「那四十二格里，有九格是空的。」
第四句：
「空的那九年，我记得是哪九年。」
第五句，艾力翻完停了一下才说：
「那九年是哪九年，能不能对上别人家的坏年份，这个我活着的时候问不出来。」
第六句：
「可是那九个年份写在墙上。」
第七句：
「以后有人要是收到了三家四家的格子，他拿我那九个年份去对一对。」
第八句，这一句翻完，马可在电话这头没有说话：
「对上了，说明那九年真是年成不好。」
「对不上，说明那九年是我们家自己的事。」
这几句翻完，艾力在电话那头停了一下。
他说了一句自己的。
他说：
“马叔，我刚才翻的时候漏了一句。”
马可说：
“哪一句？”
艾力说：
“他说完那些，又说了一句。”
他说：
“他说：这九个年份我写在墙上二十多年了。”
马可停住了。
艾力说：
“我问他为什么写。”
他说：
“他说他也不知道。”
他说：
“他说他当时就是觉得，空着不写年份，以后没有人知道那是哪几年。”
马可在电话这头站起来了。
二十多年前。
那时候没有第二家。
没有五家互寄，没有那五袋，没有任何一件今天有的东西。
他写那九个年份的时候，不知道那有什么用。
马可在本子上写了一行：
「他二十多年前写下那九个年份。」
他停了很久，写完下半句：
「今年我们才知道那九个年份能拿来干什么。」
「他写的时候不知道。」
「他只是觉得不该空着。」
「这个我等不到。」
「这个是给收到四家格子的那个人留的。」
马可挂了电话，在本子上写了一行：
「他六十九，他知道自己等不到。」
他停了一下，写完下半句：
「他还是把那九个年份写在墙上。」
「写在墙上这件事，是为一个当时不在场的人做的。」
「而且那个人，到今天还没有出生也说不定。」
写完他把这一条加进了第二十一类。
第十九条。
填「为谁」那一栏的时候，他停了很久。
最后他填的是：
「将来手上能拿到四家格子的那个人。」
填「当时有没有好处」那一栏，他填的是一个字：
「无。」
填完这两栏，马可把这一条又看了一遍。
他发现这一条跟前面十八条有一样不同。
前面十八条，做的那件事都已经做完了。
寄了，钉了，站了三天，碰了一下手背。
这一条不是。
这一条要等。
等到有人手上有四家的格子。
那一天可能是十年后，也可能是三十年后。
马可在这一条旁边加了一栏。
新栏写的是：
「这件事什么时候才算做完。」
他填的是：
「有人拿四家格子来对那九年的时候。」
填完他回头看前面十八条。
他给每一条也补了这一栏。
补到第一条的时候他停了很久。
第一条是吐尔逊二〇三二年四月寄那一串。
那件事什么时候算做完。
寄到那一天算吗。
常捏完说了两句算吗。
那两句在马可本子上压了四十六天。
转回去那一天算吗。
那一天吐尔逊已经走了。
马可在第一条那一栏里填的是：
「没有做完。」
他在旁边写了一行小字：
「收的那个人没有收到。」
「所以这一条一直挂着。」
「艾力去年替他写了那一行。」
「写下来不等于收到。」
写到这儿马可停了很久。
他把笔放下，去窗边站了一会儿。
十一月的成都，外面在下小雨。
回来以后他又拿起笔。
他在那一行下面加了一句：
「可是这一条挂着，比销掉强。」
下面一行：
「销掉了，这件事就成了一件没有做成的事。」
再下面一行：
「挂着，它就还是一件在等的事。」
再下面一行，他写完把本子合上了：
「等的人不在了，那件事还能等。」
欲知后事如何，请看下回，《士女目录》
本回附录
四篇附录合计比正文还长。默认收起，想读哪篇点哪篇。
东坡笔记Dongpo's Note2 字
苏东坡当夜记下的：这一回他看见了什么
Eighteenth of November, 2034, Kucha. A year ago today they opened the first cell. Today, the second. The date was fixed hard last year. Imin is sixty-nine. Ali is seventeen. Four bags on the table this time: two from this year, two from last — last year's having been opened, halved and exchanged, then resewn. Two rows. Top row Imin's, last year and this. Bottom row Ali's, last year and this. Ali finished laying them out, stood back, and said: this year we can compare.
A morning of comparing, the same method as last year: one from each bag, in a row, pinched; one character per round — soft, middle, hard. But this time it is not Imin against Ali. It is Imin's this year against Imin's last year; then Ali's this year against Ali's last year. By midday: Imin's set — harder than last year, 29 of 44 rounds recorded hard. Ali's set — harder than last year, 26 of 43. The two figures are close. Ali stood looking at them without moving.
Zhu Shijie came into the yard at noon. Fifties, very old travelling clothes with dirt on the hem, a stuffed cloth bag on his back, and the shoes of a man who has walked a great deal. In his hand a string of counting beads — strung, not an abacus. He looked at the four bags and said: this year you have laid them out in two rows. (I was in Chengdu with the phone on speaker.) Zhu Shijie. I call myself Songting.
Ali read out the two figures and asked Imin whether that counted as matching. It counts. But our houses are still different. The houses are different. And: the direction of the change is the same. And the size of it is about the same. And: this is the first time. I asked what the same direction means. Imin did not answer at once, and Zhu Shijie said: let the old man say it himself. A silence, and then: it means that this year there was something both families ran into together. And: it isn't anything my hands did. And: and it isn't anything that boy's hands did. I stood up. It's the weather. — It's the weather.
Zhu Shijie spread the beads. That sentence matters. And: that old man measured alone for forty-two years. And: and in every one of those years two things were mixed together — the weather of that year, and his own hand. They cannot be separated. They cannot. And: measure alone for a lifetime and those two are tangled for ever. And, and I picked up the pen: today, for the first time, they came apart. And: both families harder, and harder by about the same. Then that portion of hardness belongs to neither man's hand.
Does the method have a name? In my book it is called summoning the differences. What is it? You have a string of numbers, one a year. Subtract each from the next and you get a new string — that is the first difference. Do it again: the second. Again: the third. And: when you reach a layer that stops changing, that layer is the bone of the series. What is the bone for? Once you have the bone, the gaps in the middle can be filled in — and the ones that have not come yet can be worked out.
So can the forty-two years be treated this way? No. Flatly. Why? Because every one of those forty-two numbers has two things inside it. Subtract, and the difference still has two. Subtract to the bottom and it still has two. And: subtraction cannot separate things that are tangled. And, six times into the book: what separates them is not an算法. And: it is a second person.
Last, his own life. I have spent it on the road. How long? Over twenty years. And: out of Yanshan and south, staying a while wherever I came to, teaching a while. Why keep moving? Because in any one place everybody's methods are the same. And: stay long enough and I would know only that one set. And: go elsewhere and what they use is different. And: set the two side by side, and then I can see which parts of mine are dead. And, five times into the book: a man who stays in one place ends by being unable to tell which of it is mathematics and which is local habit. — M.
马可备忘Marco's Memo0 字
分析师的复盘：数字、结论、他改了哪条规矩
Memo to file. Kucha (by phone) / Chengdu, 18–20 November 2034. The first quantity that belongs to nobody.
1. What the second opening produced, and it is what 224 predicted. Each household now has two points, therefore one difference. Imin: harder than last year, 29/44. Ali: harder than last year, 26/43. Same direction, similar magnitude.
2. What that licenses, and it cannot be got any other way. A single household's annual figure always contains two things at once: that year's weather and that person's hand, and no amount of arithmetic on one series can pull them apart — the differences of a mixture are still a mixture. Subtraction cannot separate things that are tangled. With two independent households, the component they share is the year. In the book: this is the first number in five years that does not belong to any person.
3. Its cash value is zero, and I wrote the zero down. Knowing this year ran warm sells no extra bags. But from this year on, every annual figure has one thing that can be subtracted out of it — and what is left after that subtraction is the person. Forty-two years could not do this. Two households did it in two.
4. The cost of that, stated without softening. Imin's forty-two cells remain permanently unseparable. He knows it; he said so first. There was no second household for any of those years and there never can be.
5. And what he says those forty-two are still good for, which I had not thought of. Nine of them are blank, and he remembers exactly which nine years. His argument, relayed through Ali in eight sentences: whether those nine were bad years generally, or bad only for his own houses, he cannot find out in his lifetime. But: those nine years are written on the wall. And: if someone later holds the cells of three or four households, he can check my nine years against theirs. And: if they match, those nine really were poor years. If they don't, those nine were our family's own business. And: I won't live to see it. And: this is left for whoever ends up holding four families' cells.
6. Filed as entry nineteen in class twenty-one. The for whom field took a long time. What I wrote: whoever in future holds four households' cells. The benefit at the time field: none. In the book: he is sixty-nine and knows he will not see it, and he wrote the nine years on the wall anyway — and the person that was done for may not have been born.
7. Ali, seventeen, on the same afternoon, drew two lines on a sheet with two points on each and an arrow between them marked this year, then asked what happens next year. Next year each line has three points. — Three points is two differences. — And two differences can be subtracted again. Imin asked where he had got that. From the gentleman in the yard at noon. A pause. Which gentleman? — and Imin did not ask again. He looked at the sheet a while and said: keep that paper.
8. The traveller's reason for travelling, which is the same argument in another register. Twenty years on the road, because in any one place everybody's methods are the same, and a man who stays ends by being unable to tell which of it is mathematics and which is local habit. Same structure as the households: one series cannot audit itself. He solved it by moving. Imin could not move, and solved it by waiting forty years for a second household — and got it at sixty-eight.
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本回所引古文的英译与解读
"Subtraction cannot separate things that are tangled."
The method being discussed is an old and powerful one: take a series of measurements, one per period, and difference it. Subtract each term from the next and you get the first differences; difference those and you get the second; and so on until a layer stops changing. That layer is the structure of the series, and once you have it you can fill in missing terms and extend the series forward.
It is genuinely strong, and it has a limit that is easy to miss because the arithmetic never complains. If each of the original measurements is a sum of two causes, then every difference is also a sum of two causes, and so is every difference of differences. The procedure runs perfectly and separates nothing. You can descend through four layers and arrive at a clean-looking number that is still a mixture.
What resolves it is not a better computation. It is a second series, produced independently, in which one of the two causes is shared and the other is not. Then the shared component shows up in both and can be identified — and what is left in each is the part that belongs to that source alone.
What separates them is not an algorithm. It is a second person.
The same author spent more than twenty years travelling, staying and teaching in one place and then another, and gave a reason that is the identical point applied to himself. In any single place the practitioners all use the same methods, and a man who stays long enough learns that one set and nothing else — with no way of telling which parts of it are necessary and which are simply what people there happen to do.
A man who stays in one place ends by being unable to tell which of it is mathematics and which is local habit.
速查表Cheat Sheet844 字
典故与现代对应，一行一条
| 十一月十八到二十 | 出处 | 现代对应 | 一句话 |
|---|---|---|---|
| 去年开第一格，今年开第二格 | 依明六十九，艾力十七 | 桌上四袋：两个今年的，两个去年的 | 今年能比了 |
| 这次不是依明对艾力 | 是依明今年对依明去年 | 再是艾力今年对艾力去年 | 依明29/44硬，艾力26/43硬，两个数很近 |
| 这算不算对上了。算 | 可是我们两家的房还是不一样。房不一样 | 变的方向一样，多少也差不多 | 这是头一回 |
| 方向一样说明什么。让那老人自己说 | 说明今年有一样东西是两家一起碰上的 | 不是我手上的事，也不是那孩子手上的事 | 是天 |
| 那老人一个人量了四十二年 | 每一年都有两样掺在一起：那年的天，他自己的手 | 一个人量一辈子，这两样永远绞在一起 | 今天头一次分开了 |
| 招差：相邻两个一减是一差，再减二差 | 减到哪一层不动了，那层是这串数的骨头 | 知道骨头，中间缺的能补，后头没来的能推 | 那四十二年能不能用这法子。不能 |
| 每个数里都有两样，减出来的差还是两样 | 减到底也还是两样 | 减法分不开绞在一起的东西 | 分开它们的不是算法，是第二个人 |
| 我这一辈子在路上，二十多年 | 为什么走。因为一个地方的人算法都一样 | 走到别处人家用的不一样，两套一比才知道我那套哪儿是死的 | 一个人待在一个地方，最后分不清哪些是算学哪些是这地方的习惯 |
| 艾力画两条线各两个点，中间一个箭头写「今年」 | 明年各三个点，三个点有两条差 | 两条差还能再减一次 | 这个你怎么知道的。刚才那位先生说的 |
| 哪位先生。中午在院子里的那位 | 依明没有再问，低头看那张纸 | 这张纸你收着 | 这是第一个不属于任何一个人的数 |
| 这个数值多少钱。零 | 可是从今年起每年那个数里能减掉一样 | 减掉以后剩下的才是那个人 | 四十二年做不了，两家两年就做了 |
| 您那四十二格现在还能做什么 | 分不开了我知道，可是它还有一样用 | 那四十二格里有九格是空的，我记得是哪九年 | 那九年能不能对上别人家的坏年份，我活着问不出来 |
| 可是那九个年份写在墙上 | 以后有人收到三家四家的格子，拿我那九个年份对一对 | 对上了说明那九年真是年成不好，对不上说明是我们家自己的事 | 这个我等不到，是给收到四家格子的那个人留的 |
| 他六十九，他知道自己等不到 | 他还是把那九个年份写在墙上 | 写在墙上这件事，是为一个当时不在场的人做的 | 而且那个人到今天还没有出生也说不定 |
| 第二十一类第十九条 | 「为谁」：将来手上能拿到四家格子的那个人 | 「当时有没有好处」：无 |
