段一·现身
二〇三三年十一月十八日，库车。
去年这一天，两家封了同一年那一格。
依明一格，艾力家一格。
说好二〇三三年十一月十八日一起打开。
这个日子是依明定的。
他定的时候说了一句：
“日子要写死。”
他说：
“不写死，到时候总有一家说再等等。”
今天是那一天。
依明家的院子里摆了一张桌子。
桌上铺了一块白布。
布是新的，还有折痕。
折痕把桌面分成六块。
两个袋子放在布的两头。
都是缝死的，都没有拆过。
两个袋子的针脚不一样。
依明那个密，艾力那个疏。
这一条是马可后来在照片上看出来的。
一个上头是依明的字。
一个上头是艾力的字。
艾力那个上头还有一行小字，是他去年加的。
写的是：我第一格。
这五个字是去年他自己要写的。
依明当时说不用写。
艾力说要写。
依明问为什么。
艾力说：
“我以后会有很多格。”
他说：
“我想记住哪一个是第一个。”
依明听完没有再说什么。
他自己那五十一格上，一个字也没有这样的。
四十二格，每一格上只有一个年份。
段二·古文镜像
“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。”
“叠棋”者，若以棋子相叠为柱；“幂”者，一层之面；“势”者，其高下之次第也。
刘徽论牟合方盖：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”
《隋书·律历志》：“祖冲之所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”
English Mirror: Piling up counters makes a solid. Since the sectional areas at corresponding heights are the same, the volumes cannot differ. — Piling up counters means setting pieces one on another to make a column; section is the face of a single layer; disposition* is the order of those layers from low to high. — Liu Hui, on the solid formed by two intersecting cylinders: Looking at what lies inside the cube and outside the joined canopy — though it tapers away by degrees, the more and the less do not cover one another. Split and joined, square and round entangled, thick and fine at odds, it cannot be made even and regular. I should like to give the shape a form in my mind, and I fear to lose the true principle. I dare not do otherwise than leave the doubt standing, and wait for one who can speak to it. — Of the book the Zu family wrote: the officers of the school could not fathom its depths, and so it was abandoned and not studied.
十一月十八日上午十点，拆袋。
依明先拆自己那个。
用小刀挑线，挑得很慢。
拆完他把里头的东西倒在白布上。
四十几颗。
艾力拆自己那个。
倒出来四十四颗。
两堆放在布的两头，中间隔着一尺。
依明说：
“你先看。”
艾力弯下腰。
他看了大概十秒。
然后他站直了。
他说的第一句是：
“差得太远了。”
说完他自己愣了一下。
他昨天晚上想过今天会看到什么。
他想的是两袋差不多，然后两个人一起找那一点点差别。
他没有想过会差到这个地步。
他站在桌边，第二句没有说出来。
第二句他心里想的是：那我们去年封这个干什么。
段三·事件主体
祖暅是那天上午在院墙下出现的。
三十多岁。
穿的是很干净的素袍。
手上没有拿书。
他手里是一把棋子。
圆的，扁的，木头做的，一样大。
棋子边上有磨损，不是新做的。
他一只手能握十几颗。
他一进来就蹲在墙根，把棋子一颗一颗往上叠。
叠了一摞，很稳。
叠完他抬起头，看着桌上那两堆。
他说了第一句：
“那孩子说差得太远，说的是今年这两袋。”
这一天马可在成都，电话开着免提。
马可说：
“先生贵姓。”
那个人说：
“祖暅。”
他说：
“我父亲是祖冲之。”
艾力那一句说完，院子里静了一会儿。
依明没有说话。
他弯腰，从自己那一堆里捏了一颗。
捏完放回去。
他说：
“你说差得远。”
他说：
“差在哪儿？”
艾力说：
“您这堆硬。”
他说：
“我们家这堆软。”
依明说：
“差多少？”
艾力说：
“差很多。”
依明说：
“「很多」不是数。”
艾力蹲下去，捏了两边各十颗。
捏完他说：
“您这堆，我们家的三号房才捏得出来。”
他说：
“我们家这堆，像我们家一号房。”
依明说：
“这个算数。”
依明说完这三个字，蹲下去了。
他从两堆里各拿了五颗，摆成两排。
摆的时候他一颗一颗对齐。
摆完他说：
“你再看一遍。”
艾力弯腰看。
这一次他看了很久。
过了一会儿他说：
“您这五颗，大小不一样。”
依明说：
“接着说。”
艾力说：
“我们家这五颗，大小差不多。”
依明说：
“哪个好？”
艾力想了一下。
他说：
“我们家的看着好。”
依明说：
“你们家那五颗是从一号房一个架子上拿的。”
艾力说：
“是。”
依明说：
“我这五颗是六座房六个架子上各拿一颗。”
艾力抬起头。
依明说：
“我那一袋不是从一处挑的。”
他说：
“我挑的时候，一座房拿几颗。”
他停了一下。
他说：
“所以我那一袋里，装着我六座房那一年的样子。”
他说：
“你那一袋里，装着你一号房那一年的样子。”
艾力站在那儿，很久没有说话。
过了一会儿他说了一句，依明点了点头：
“那我明年得改。”
马可在电话这头听到这儿，问了一句。
他说：
“依明大叔，那这一次算不算白封了？”
依明说：
“不白。”
马可说：
“可是两袋对不上。”
依明说：
“本来就对不上。”
他说：
“两家的房不一样。”
他说：
“土不一样，风不一样，人不一样。”
他说：
“一样才怪。”
马可说：
“那我们封它干什么？”
电话那头没有立刻答。
过了一会儿依明说了一句。
他说：
“不是今年封了今年比。”
他说了一句，马可当时把笔拿起来了：
“是今年封了，明年跟今年比。”
祖暅在院墙下把那一摞棋子推倒了。
推完他重新叠。
这一次他叠两摞。
一摞直的。
一摞歪的，一颗压着一颗的边，斜着上去。
两摞一样高。
他说：
“你看这两摞。”
马可在电话这头说：
“先生，我看不见。”
祖暅说：
“你听我说。”
他说：
“一摞是直的，一摞是歪的。”
他说：
“形状完全不一样。”
他说：
“可是它们一样高。”
他说：
“每一层用的都是同样大的棋子。”
他抬起头。
他说：
“那这两摞，用掉的棋子一样多。”
马可在成都那间屋子里坐直了。
他说：
“先生，这个我懂。”
祖暅说：
“这句话我写成十二个字。”
他说：
“夫叠棋成立积。”
他说：
“缘幂势既同，则积不容异。”
马可说：
“幂是什么？”
祖暅说：
“一层的面。”
马可说：
“势呢？”
祖暅说：
“一层一层的高下次序。”
他说：
“每一层的面一样大，从下往上一层一层都一样。”
他说了一句，马可当天在本子上抄了六遍：
“那两个东西装的分量，不容许不一样。”
他说：
“不是「大概一样」。”
他说：
“是不容许不一样。”
马可把这一句抄完，问了那个要紧的。
他说：
“先生，两摞的形状可以完全不同？”
祖暅说：
“可以。”
他说：
“一摞方的，一摞圆的，一摞歪的。”
他说：
“都行。”
他停了一下。
他说：
“只要每一层对得上。”
马可说：
“先生，这一句我等了两年。”
祖暅问：
“怎么讲？”
马可说：
“去年有个姓裴的先生跟我说过准望。”
他说：
“他说你在自己那一角怎么量都对，一拼到别人那一角全错。”
他说：
“我一直以为那意思是：要想拼得上，各家得先弄成一样。”
祖暅说：
“不是。”
他说得很干脆。
他说：
“各家弄成一样，那是最笨的法子。”
他说：
“也做不到。”
他抬起头。
他说了一句，马可当天在本子上抄了五遍：
“你不用让两摞长得一样。”
他说：
“你只要让它们每一层都能对。”
他说：
“一层就是一年。”
马可问了一句。
他说：
“先生，要是有一年少了一层呢？”
祖暅说：
“那两摞就不能比了。”
马可说：
“只少一层也不行？”
祖暅说：
“不行。”
他说：
“少一层，从那一层往上，层层都错位了。”
他说：
“你以为你在比第十层。”
他说：
“其实你在拿一边的第十层，比另一边的第九层。”
他抬起头。
他说：
“这个错比差得远还坏。”
马可问：
“为什么？”
祖暅说：
“差得远，你一眼看出来。”
他说了一句，马可当天在本子上抄了五遍：
“错位一层，两边看着挺像。”
马可听完这一句坐直了。
他想的是库车那六座房。
艾力家去年没有挑成那一串。
二〇三二年那一格，他们家是空的。
依明那五十一格里，中间空了九格。
这两处空，都不是随手空的。
依明那九格，他说那九年房出了事，货不能代表。
艾力家那一格，是老人走了。
马可在本子上写了一行：
「空一格，比填一格假的好。」
他停了一下，写完下半句：
「可是空了那一格以后，从那儿往上都得往回数一年。」
「数错一年，两边就看着挺像。」
再下面一行：
「所以空格上必须写明年份。」
「不能只空着。」
那天上午最后，祖暅说了一句别的。
他说：
“这个道理不是我先想到的。”
马可问：
“是谁？”
祖暅说：
“刘徽。”
他说：
“他要算球有多大。”
他说：
“他想了一个东西，叫牟合方盖。”
他说：
“两个圆筒十字交叉，交出来那一块。”
马可问：
“他算出来了吗？”
祖暅说：
“没有。”
他说：
“他在书里写了一段。”
他说：
“他说这东西方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。”
他说：
“他说他怕硬说会失了正理。”
他抬起头。
他说：
“他最后写的是：敢不阙疑，以俟能言者。”
马可说：
“留着这个疑问，等会说的人来。”
祖暅说：
“是。”
他停了一下。
他说：
“他写那句话的时候，我还没生。”
他说了一句，马可当天在本子上抄了六遍：
“他空的那一格，二百年以后我填上了。”
他说：
“他要是当年硬填一个数进去，我就没得填了。”
马可把这一句抄完，问了最后一个。
他说：
“先生，您填上了以后，那本书后来怎么样？”
祖暅没有立刻答。
过了一会儿他说：
“我父亲和我写的那本，叫《缀术》。”
他说：
“唐朝的算学拿它当课本。”
他说：
“学官读不懂。”
马可说：
“读不懂就不教了？”
祖暅说：
“废而不理。”
他说的是书上那四个字。
他说：
“后来就没有了。”
院墙下那两摞棋子还立着。
祖暅伸手把它们推倒了。
推完他说：
“刘徽空了一格，二百年后我填上。”
他说：
“我填上了，三百年后没有了。”
他抬起头。
他说了一句，马可当天在本子上抄了六遍：
“空着的那一格，等得起。”
他说：
“填上的那一格，要有人年年读它。”
他说：
“没有人读，填上的比空着的还容易没。”
段四·钩子结尾
十一月十八日中午，依明和艾力做了一件事。
他们没有把那两袋混在一起。
也没有丢掉。
他们把两袋重新分装。
每一袋分成两半。
依明那一半给艾力，艾力那一半给依明。
各自缝死，各自写上字。
字是艾力写的，两张都写。
写的是：
「二〇三二年。这一半是另外一家的。」
「留着，明年拿本家的比。」
分完艾力问了一句。
他说：
“依明爷爷，明年比什么？”
依明说：
“比两样。”
他说：
“头一样：你们家明年那一袋，跟今年这一袋。”
他说：
“这是你自己家的。”
他说：
“第二样：我家明年那一袋，跟我家今年这一袋。”
艾力说：
“那还是各比各的。”
依明说：
“不是。”
他说：
“你那个差，是一个数。”
他说：
“我那个差，也是一个数。”
他抬起头。
他说：
“这两个数能比。”
艾力说完这一句，蹲下去，在地上比划。
他用手指画了两条短线。
一条在上，一条在下。
他在上面那条上点了两个点。
在下面那条上也点了两个点。
点完他抬起头。
他说：
“您那两个点之间，是一段。”
他说：
“我这两个点之间，也是一段。”
他说：
“这两段能比。”
他说：
“可是您那条线在上头，我这条在下头。”
他说：
“这两条线离多远，比不了。”
依明看着地上那四个点，看了很久。
他说：
“对。”
他说：
“离多远，这一辈子都比不了。”
他说：
“我的房是我的房，你的房是你的房。”
他停了一下。
他说：
“可是两条线怎么走，能比。”
他说：
“走法一样，那就是一样的天。”
艾力站在那儿，想了很久。
他说：
“您家硬我家软，这个比不了。”
他说：
“可是您家今年比去年硬了多少，我家今年比去年软了多少。”
他说：
“这两个能比。”
依明点了点头。
他说：
“这一句你自己说出来了。”
艾力说：
“那我们明年还开吗？”
依明说：
“开。”
艾力说：
“明年十一月十八？”
依明说：
“十一月十八。”
艾力站在那儿，算了一下。
他说：
“您明年六十九。”
依明看了他一眼。
他说：
“那就明年十一月十八。”
他说得很平，没有别的意思。
艾力后来跟马可说，他那一刻不知道该说什么。
他说他本来想说「您要保重」。
他没有说出来。
他说：
“我说了，那件事就变成一件跟他活多久有关的事。”
他说：
“依明爷爷说的是一个日子。”
他说：
“我就也说一个日子。”
他说：
“我四十年前想明白的，就是这一句。”
他停了一下。
他说：
“我想明白了，没有第二家。”
这一句说完，艾力问了一件事。
他说：
“依明爷爷，您那时候跟我爷爷说的，是这一句吗？”
依明说：
“不是。”
艾力说：
“那您说的是什么？”
依明想了一会儿。
他说：
“我那时候说的是：你也留一份。”
他说：
“就这五个字。”
艾力说：
“您没说为什么？”
依明说：
“说了。”
他说：
“我说两家对着看得清楚。”
他停了一下。
他说：
“我没有说清楚看什么。”
他说：
“因为我自己那时候也说不清楚。”
他抬起头。
他说：
“我是这三十年一格一格填出来才说得清的。”
他说了一句，艾力当天晚上打字发给了马可：
“我劝了三十年，劝的是一句我自己还没想明白的话。”
他说：
“他不听，不能怪他。”
十一月十八日下午，马可在成都写了一页。
写的是这件事为什么要等到明年。
他写的第一行是：
「今年这两袋对不上，是对的。」
第二行：
「因为一个差要两个点。」
第三行：
「今年两家各有一个点。」
第四行：
「一个点画不出线。」
第五行，他写完在旁边打了一个记号：
「明年两家各有两个点，才有两条差。」
「两条差才是第一次真的可比。」
记号是一个三角。
三角的意思是：这一条明年十一月十八日验。
写完他往下算了一笔。
依明六十八，有四十二年的格子。
他一个人就有四十二条差。
艾力十六，明年才有第一条差。
马可在本子上写了一行：
「依明一个人手上有四十二条。」
他停了一下，写完下半句：
「可是他这四十二条，四十年里一条也没有跟别人的比过。」
「四十二条自己跟自己比，是一条线。」
「一条线不知道自己歪没歪。」
再下面一行：
「艾力明年那一条，是第二条线。」
「一条对四十二条，听着不对等。」
「可是四十二条里，从来没有过第二条线。」
写完这一行，马可把五家的情况重新过了一遍。
能拿出两个点以上的，今年有几家。
常那边：三十一年，可是二〇三〇年换过手，常斌接的。
换手那一年前后的数不能直接减。
所以常那边真正干净的，是二〇三〇年到今年，四条差。
吐鲁番：二〇三一年中风，之后阿里木记的。
也换过手。
干净的是二〇三二、二〇三三两格，一条差。
热合曼江：二〇三一年才开始留，三格，两条差。
依明：四十二格，四十一条差，一个人，没换过手。
艾力家：一格。
古丽：六本本子，可是那是另外一种东西，不能放进这一栏。
马可数完，在本子上写了一行：
「五家里，四十一条差在一个人身上。」
他停了一下，写完下半句：
「其余四家加起来，七条。」
「这一行现在最要紧的那一样，压在一个六十八岁的人身上。」
「他今年第一次，在那面墙外头钉了一个别人家的袋子。」
十一月二十日，艾力发来一张照片。
照片上是依明家墙上那面格子。
五十一格，中间空九格。
今年多了一样东西。
在第五十一格旁边，钉了一个新的小袋子。
不在格子里，在格子外头，钉在墙上。
下面一条文字：
「这个是我家的那一半。」
再下面一条：
「依明爷爷说，这一袋不能进他的格子。」
再下面一条：
「他说他那五十一格，一格一年，四十二年，全是他一个人的。」
再下面一条：
「他说要是掺进来一袋别人家的，那四十二年就说不清了。」
最后一条，马可看完在屋里坐了很久：
「他说他钉在外头，是因为他也舍不得扔。」
马可在本子上写了一行：
「一个六十八岁的人，守了四十年一个人的那条线。」
他停了一下，写完下半句：
「今天他在墙上那条线外头，钉了第一个不属于他的袋子。」
「他没有把它放进去。」
「他也没有扔。」
「他钉在旁边。」
这一句写完，马可又想了一层。
钉在旁边这个动作，比放进去难。
放进去是把它当成自己的。
扔掉是把它当成别人的。
钉在旁边，是承认它既不是自己的，也不能不要。
这两样同时成立，人心里是别扭的。
依明六十八岁，别扭了一个下午，最后钉了一颗钉子。
马可在本子上写了一行：
「大部分人受不了这个别扭。」
他停了一下，写完下半句：
「受不了的，要么收进来，要么推出去。」
「两样都干净。」
「钉在旁边不干净。」
「这一行里真的东西，大半是不干净的。」
写完他想起十月贾耽那张图。
古的用黑，今的用朱，两种字挨着，谁也不盖谁。
马可又写了一行：
「一个不识字的人，在墙上做了同一件事。」
写完这一行，马可给依明打了一个电话。
阿里木不在，是艾力翻译的。
马可问的是一句很短的话。
他问：那面墙上，第一格是哪一年。
艾力问完，回过来：
「一九九一年。」
马可打字问：
「他那年多大？」
艾力回：
「二十六。」
马可在本子上把这两个数写下来。
一九九一年，二十六岁。
他今年三十六。
比依明开始的时候大了十岁。
马可又问了一句。
他问：他二十六岁那年，为什么开始留。
这一次艾力回得很慢。
过了快二十分钟。
他发来的是三条。
第一条：
「他说那年他卖了一批，人家说不好。」
第二条：
「他说他自己觉得好。」
第三条：
「他说他跟人家吵了一架。」
「吵完他发现一件事：他手上没有那一批了。」
「他说不清自己那一批到底什么样。」
马可看着这三条，站起来了。
他在本子上写了一行：
「他留了四十二年。」
他停了一下，写完下半句：
「起因是一次吵架。」
「吵输了的那个人，去留了四十二年的样品。」
再下面一行：
「他不是想证明自己对。」
「他是发现自己连「我那一批什么样」都答不上来。」
「这四十二年，是为了下一次吵架的时候手上有东西。」
「后来没有再吵过。」
十一月二十二日，马可把这一件事加进了《两头》。
不是加一道题。
是加在第一页那一整页空白上。
那一页是罗代办一九九九年留的，空了三十四年，九月里他说「拿去」。
马可在那一页上只写了三行。
第一行：
「这一页留给买的人和吃的人。」
第二行：
「乌鲁木齐一间店，六年，一万多条。」
第三行：
「库车一面墙，四十二格，起因是一次吵输了的架。」
写完他把这一页拍了照，发给罗代办。
罗代办回了一句：
「第三行不该写在这一页。」
马可打字问：
「为什么？」
罗代办回：
「墙那件事是种的人做的。」
下面一条：
「不是买的人。」
再下面一条：
「可是你留着。」
再下面一条，发完他隔了很久：
「我那一页空了三十四年，我以为我在等另一头。」
「现在我知道我在等的不是另一头。」
「我在等的是：有人告诉我，我这一头也有人在记。」
欲知后事如何，请看下回，《常平》
本回附录
四篇附录合计比正文还长。默认收起，想读哪篇点哪篇。
东坡笔记Dongpo's Note0 字
苏东坡当夜记下的：这一回他看见了什么
Eighteenth of November, 2033, Kucha. A year ago today the two households sealed the same year's cell — one Imin's, one Ali's — to be opened together on 18 November 2033. Imin set the date, and when he set it he said: the date has to be written down hard. And: if it isn't, when the time comes one household always says let's wait a bit. A table in Imin's yard, a white cloth over it, the two bags at opposite ends, both still sewn, neither opened. One in Imin's hand, one in Ali's — and on Ali's there is an extra line he added last year: my first cell.
Ten o'clock, opening. Imin picked the stitching out with a small knife, very slowly, and tipped his out on the cloth: forty-odd. Ali tipped out forty-four. Two heaps a foot apart. You look first. Ali bent over it about ten seconds, straightened up, and said: they're miles apart.
Zu Geng appeared under the yard wall. Thirties. A very clean plain robe. No book — a handful of counters in his hand, round, flat, wooden, all the same size. He squatted at the foot of the wall and began stacking them one on another into a column, which stood up steady. Then he looked at the two heaps on the table and said: the boy says they're miles apart, and what he means is this year's two bags. (I was in Chengdu with the phone on speaker.) Zu Geng. My father was Zu Chongzhi.
Imin said nothing at first. He picked one out of his own heap, put it back, and said: you say they're far apart. Far apart in what? Yours is hard, ours is soft. How far? Very far. "Very far" is not a number. So Ali squatted and pinched ten from each side, and then: yours, only our house three could produce. Ours is like our house one. — That counts as a number.
I asked whether the sealing had therefore been wasted. Not wasted. But the two don't match. Of course they don't match. And: the two families' houses are different. The soil is different, the wind is different, the people are different. It would be strange if they matched. Then why seal them? A pause, and then, and I picked up the pen: it isn't seal this year and compare this year. It's seal this year and compare next year against this year.
Zu Geng knocked his column over and built two. One straight. One crooked — each counter set on the edge of the one below, going up aslant. The same height. I said I couldn't see it, and he said listen. One is straight and one is crooked. The shapes are completely different. But they are the same height, and every layer uses a counter of the same size. And: therefore the two columns used the same number of counters. His twelve characters: piling up counters makes a solid; since the sectional areas at corresponding heights are the same, the volumes cannot differ. Section is the face of one layer; disposition is the order of the layers from low to high. And, six times into the book: then what those two things hold is not permitted to differ. And: not "roughly the same." Not permitted to differ.
The question I had been carrying two years: can the shapes be completely different? They can. One square, one round, one crooked. Any of them. And: so long as every layer corresponds. I said a man named Pei told me last year about the common bearing — right in your own corner, wrong the moment you join it to another — and I had taken that to mean that to join up, every household must first be made the same. — No. Flatly. Making every household the same is the stupidest method. And it cannot be done. And, five times into the book: you do not have to make the two columns look alike. You only have to make every layer correspond. And: one layer is one year.
Last, he gave the credit away. This wasn't mine first. Whose? Liu Hui's. He wanted the volume of a sphere and invented a solid for it — two cylinders crossed, and the piece where they intersect. Did he get it? No. And: he wrote a passage saying it is square and round entangled, thick and fine at odds, that it cannot be made even and regular, and that he feared that by forcing a shape on it he would lose the true principle. And: what he finally wrote was: I dare not do otherwise than leave the doubt standing, and wait for one who can speak to it. Leave the question open and wait for someone who can. Yes. And: he wrote that before I was born. And, six times into the book: the box he left empty, I filled two hundred years later. And: if he had forced a number into it at the time, there would have been nothing left for me to fill. — M.
马可备忘Marco's Memo1 字
分析师的复盘：数字、结论、他改了哪条规矩
Memo to file. Kucha (by phone) / Chengdu, 18–20 November 2033. The two bags did not match, and that is the correct result.
1. What happened. Two households opened cells sealed a year ago on the same day. Imin's heap is hard; Ali's is soft; by Ali's own calibration they are about two of his family's houses apart. Ali's first reaction: they're miles apart — i.e., the exercise failed.
2. Why it did not fail, stated by a man who cannot read. It isn't seal this year and compare this year. It's seal this year and compare next year against this year. The comparison was never between the two bags. It is between two differences — how much Imin's 2034 differs from his 2033, and how much Ali's 2034 differs from his 2033. Those two numbers are commensurable even though the bags are not.
3. The licence for that, which I have been missing since April 2032. Zu Geng's principle: two solids of completely different shape contain the same volume if every corresponding layer has the same section. You do not have to make the households alike. You have to make the layers correspond — and one layer is one year. This corrects my reading of Pei Xiu. I had taken common bearing to mean everyone must be standardized. Making every household the same is both the stupidest method and impossible. What has to be shared is not the practice; it is the slicing.
4. Why nothing is comparable this year, in one line. A difference needs two points. This year each household has one point. One point does not make a line. Marked with a triangle for verification on 18 November 2034: two households, two points each, two differences — the first genuinely comparable quantity this network will have produced.
5. The asymmetry, and why it is smaller than it looks. Imin is 68 and has 42 years of filled cells — 42 differences on his own. Ali is 16 and will have his first difference next year. But those 42 have never once been compared to anybody else's. Forty-two self-referential differences are one line, and one line cannot tell whether it is crooked. Ali's single difference next year is a second line. One against forty-two sounds lopsided; in forty-two years there has never been a second line at all.*
6. What the two of them did with the opened bags, which I did not suggest. Neither mixed nor discarded. Each bag split in half and swapped, resealed, labelled in Ali's hand: 2032. This half is the other family's. Keep it; compare against our own next year.
7. And what Imin did with his half on the 20th, which is the finding. He did not put it into his wall of fifty-one cells. He nailed it to the wall outside the grid. His reason, relayed: those fifty-one cells are one cell per year, forty-two years, and all of it is one man's. And: mix in one bag from another household and those forty-two years can no longer be accounted for. And: he nailed it outside because he couldn't bring himself to throw it away either. A man who cannot read arrived at exactly Jia Dan's two-ink solution and executed it in nails: the new thing goes next to the old record, touching it, not absorbed into it.
8. The methodological note I want on record, from Liu Hui via Zu Geng. He could not solve the intersecting-cylinder solid and wrote that he feared forcing a shape on it would lose the true principle, and closed with leave the doubt standing and wait for one who can speak to it. It was filled about two centuries later. If he had forced a number in, there would have been nothing left to fill. Third time this year the same rule has come round — 阙 (March 2032), the bounded blank (March 2033), and now this. I am treating it as settled practice rather than as an insight.*
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本回所引古文的英译与解读
"Piling up counters makes a solid. Since the sectional areas at corresponding heights are the same, the volumes cannot differ."
Twelve characters, preserved in a commentary, and the thing they license is larger than it first appears. Two objects may be entirely unlike — one upright, one leaning, one square, one round. If you slice both at every height and the slices match, then the two contain exactly the same amount.
Note what is not required. Not that the objects resemble each other. Not that they were made the same way. Not even that you can see both at once. The comparison is performed layer by layer, and the layers carry the whole argument.
And note the strength of the claim. It does not say the volumes will be approximately equal, or equal for practical purposes. The volumes are not permitted to differ.
The other half of the story belongs to the man two centuries earlier who could not finish it. Wanting the volume of a sphere, he constructed the solid formed where two cylinders cross at right angles, and then found he could not measure it. What he wrote about the failure is unusually exact about its own limits: the thing is square and round entangled, thick and fine at odds, it cannot be made even and regular, and he feared that by forcing a shape onto it in his mind he would lose the true principle.
So he stopped, and wrote the sentence the later solution depends on:
"I dare not do otherwise than leave the doubt standing, and wait for one who can speak to it."
Two hundred years is a long wait, and the waiting was only possible because the gap had been left visibly open and correctly described. A plausible wrong answer in that place would have closed the question, and closed it in a way that looked settled.
There is a postscript worth keeping beside it. The book in which the later proof appeared was, a few generations on, beyond the officers of the school, who could not fathom its depths, and so it was abandoned and not studied — and lost.
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典故与现代对应，一行一条
| 十一月十八到二十 | 出处 | 现代对应 | 一句话 |
|---|---|---|---|
| 去年今天两家封了同一年那一格 | 日子是依明定的：日子要写死 | 不写死，到时候总有一家说再等等 | 艾力那袋上多一行：我第一格 |
| 依明用小刀挑线，挑得很慢 | 两堆放在布的两头，隔着一尺 | 艾力看十秒：差得太远了 | 祖暅在墙根把棋子一颗一颗往上叠 |
| 差在哪儿。您这堆硬，我们家这堆软 | 差多少。差很多。「很多」不是数 | 您这堆我们家三号房才捏得出，我们家这堆像一号房 | 这个算数 |
| 那这一次算不算白封。不白 | 两家的房不一样，土风人都不一样，一样才怪 | 那我们封它干什么 | 不是今年封了今年比，是今年封了明年跟今年比 |
| 两摞棋子：一摞直的一摞歪的 | 形状完全不一样，可是一样高，每层棋子一样大 | 那这两摞用掉的棋子一样多 | 夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异 |
| 幂＝一层的面，势＝一层层的高下次序 | 那两个东西装的分量，不容许不一样 | 不是「大概一样」，是不容许不一样 | 形状可以完全不同吗。可以，方的圆的歪的都行 |
| 只要每一层对得上 | 我一直以为准望的意思是各家得先弄成一样 | 不是。各家弄成一样是最笨的法子，也做不到 | 你不用让两摞长得一样，只要让它们每一层都能对——一层就是一年 |
| 这道理不是我先想到的，是刘徽 | 牟合方盖：两个圆筒十字交叉那一块 | 他没算出来，他说方圆相缠浓纤诡互不可等正 | 敢不阙疑，以俟能言者 |
| 他写那句话的时候我还没生 | 他空的那一格，二百年以后我填上了 | 他要是当年硬填一个数，我就没得填了 | 两袋各分一半互换，缝死写字 |
| 明年比两样：你家明年跟今年／我家明年跟今年 | 那还是各比各的。不是 | 你那个差是一个数，我那个差也是一个数，这两个数能比 | 您家硬我家软比不了，可是各自比去年变了多少能比 |
| 这一句你自己说出来了 | 我四十年前想明白的就是这一句 | 我想明白了，没有第二家 | 一个差要两个点，今年两家各一个点，一个点画不出线 |
| 依明四十二条差，四十年没跟别人比过 | 四十二条自己跟自己比，是一条线 | 一条线不知道自己歪没歪 | 艾力明年那一条，是第二条线 |
| 那一半钉在墙上，不进格子 | 五十一格一格一年全是他一个人的 | 掺进来一袋别人家的，那四十二年就说不清了 | 他钉在外头，是因为他也舍不得扔 |
| 一个六十八岁的人守了四十年一个人的线 | 今天在那条线外头钉了第一个不属于他的袋子 | 没放进去，也没扔，钉在旁边 | 一个不识字的人，在墙上做了跟贾耽那张图同一件事 |
